Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求證：平面PAB⊥平面PAD
（2）求二面角A-PD-B的大��；
（3）設AB=1，求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證平面PAB⊥平面PAD，即證AB⊥平面PAD，要證線面垂直根據線面垂直的判定定理可知只需證與平面內兩相交直線垂直即可；
（2）取PD的中點E，連接AE，BE，證得∠AEB是二面角A-PD-B的平面角，在Rt△BAE中求出此角的正切值即可；
（3）取AD的中點F，連接AF，利用建立等量關系，求出點D到平面PBC的距離．
解答：解：（1）證明：⇒AB⊥平面PAD（3分）
又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD（4分）
（2）解：取PD的中點E，連接AE，BE
∴AB⊥平面PAD
∴AE是BE在平面PAD上的射影，
∵△PAD是正三角形，
∴AE⊥PD，
由三垂線定理得BE⊥PD
∠AEB是二面角A-PD-B的平面角（7分）
在Rt△BAE中，∵
∴二面角A-PD-B的大小為（10分）
（3）解：取AD的中點F，連接AF，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，
∴PF⊥平面BCD
設點D到平面PBC的距離為h，
∵
∴S_△PBC•h=S_△BCD•PF
在△PBC中，易知PB=PC=，∴
又，∴
即點D到平面PBC的距離為
點評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．