Question

△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數列，且cosB=

3

4

．
（1）求cotA+cotC的值；
（2）若

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）首先求出sinB的值，再依據正弦定理及a、b、c成等比數列得出sin²B=sinAsinC，對cotA+cotC化簡代入即可．
（2）通過

BA

•

BC

=

3

2

求出cosB的值，進而求出b²的值．再利用余弦定理求出答案．

解答：解：（1）∵cosB=

3

4

∴sinB=

1-cos2B

=

1- 9 16

=

7

4

∵a、b、c成等比數列
∴b²=ac
∴依據正弦定理得：sin²B=sinAsinC
∴cotA+cotC
=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．
（2）∵

BA

•

BC

=

3

2

，
∴ac•cosB=

3

2

，
∵cosB=

3

4

，
∴ac=2，即：b²=2．
∵b²=a²+c²-2ac•cosB
∴a²+c²=b²+2ac•cosB=5
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9
故：a+c=3．

點評：本題主要考查余弦定理的運用．應熟練記憶并靈活運用．