Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA
（Ⅰ）證明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AC∥平面PMD，關鍵是要在平面PMD中找到一條與AC平行的直線，然后根據線面平行的判定定理進行證明，觀察到平面PMD中已知的三條直線與AC均不平行，故我們要添加輔助線進行證明，取PD的中點E，則ME即為所求．
（2）要求直線BD與平面PCD所成的角的大小，關鍵是要找到BD在平面PCD上的射影，由已知我們易證平面PBC⊥平面PCD，故過B點作PC的垂線BF，則F即為B點在平面PCD上的射影，則∠BDF，即為直線BD與平面PDC所成的夾角，解三角形BDF后，即可求解．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，取PD的中點E，連EO，EM．
∵EO∥PB，EO=PB，MA∥PB，MA=PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四邊形MAOE是平行四邊形．
∴ME∥AC
又∵AC?平面PMD，ME?平面PMD，
∴AC∥平面PMD

（Ⅱ）如圖，PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴CD⊥PB、
又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC、
∵CD?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD、
過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，
連接DF，則DF為BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角
不妨設AB=2，
則在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=PC=．
∵BD=2．
∴在Rt△BFD中，BF=BD，
∴∠BDF=．
∴直線BD與平面PCD所成的角是．
點評：求直線和平面所成的角時，應注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關系．（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構造--作出或找到斜線與射影所成的角；②設定--論證所作或找到的角為所求的角；③計算--常用解三角形的方法求角；④結論--點明斜線和平面所成的角的值．