Question

A﹑B﹑C是直線l上的三點，向量﹑﹑滿足：-[y+2f'（1）]•+ln（x+1）•=；
（Ⅰ）求函數y=f（x）的表達式；          
（Ⅱ）若x＞0，證明f（x）＞；
（Ⅲ）當時，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）將條件可變形為，根據A﹑B﹑C三點共線，整理我們可得y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），求出，可得函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）構造函數g（x）=f（x）-，證明函數g（x）在 （0，+∞）上是增函數，從而有g（x）＞g（0）=0，即可證得；
（III）原不等式等價于，要使x∈[-1，1]恒成立，我們可以求出左邊的最大值，從而將問題轉化為m²-2bm-3≥[h（x）]_max=0，構造一次函數令Q（b）=m²-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，則有Q（1）≥0及Q（-1）≥0，從而得解．
解答：解：（I）由三點共線知識，
∵=，∴，
∵A﹑B﹑C三點共線，
∴[y+2f'（1）]+[-ln（x+1）]=1
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1）．
∴∴，
∴f（x）=ln（x+1）…4分
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-，
由，
∵x＞0，∴g'（x）＞0
∴g（x）在 （0，+∞）上是增函數，
故g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞；…8分
（III）原不等式等價于，令
h（x）==，由，
當x∈[-1，1]時，[h（x）]_max=0，
∴m²-2bm-3≥0，
令Q（b）=m²-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，則有Q（1）≥0及Q（-1）≥0
即，解得m≤-3或m≥3．…12分．
點評：本題以向量為載體，考查三點共線的充要條件，考查構造法，利用函數的單調性證明不等式，同時考查恒成立問題的處理，其中構造函數，利用求函數的最值研究恒成立問題是解題的關鍵．