Question

已知a＞0，b＞0，且h=min {a，  

b

a2+4b2

}，其中min{a，b}表示數a，b中較小的數，則h的最大值為

1

2

．

Answer 1

分析：將兩個數a與

b

a2+4b2

相乘，得到

ab

a2+4b2

=

1

a b + 4b a

，運用基本不等式得到這個積的最大值為

1

4

，再根據a與

b

a2+4b2

兩個數都是正數，討論得當且僅當兩個正數相等時，它們當中的較小數取最大值，可得正確答案．

解答：解：∵a＞0，b＞0
∴a•

b

a2+4b2

=

ab

a2+4b2

＞0
∵

ab

a2+4b2

=

1

a b + 4b a

且

a

b

+

4b

a

≥ 2

a b  • 4b a

=4
∴

ab

a2+4b2

≤

1

4

，當且僅當a=2b時，取等號
∵a與

b

a2+4b2

兩個數都是正數，且積為

1

4

∴當a=2b=

1

2

，即a=

1

2

，b=

1

4

時，a與

b

a2+4b2

相等且為

1

2

，
當a≠2b時，a與

b

a2+4b2

不相等，且較小的數小于

1

2

，較大的數大于

1

2

所以，當a=2b=

1

2

，即a=

1

2

，b=

1

4

時，時h=min {a， 

b

a2+4b2

}的值最大
且這個最大值為

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題以函數的最值為載體，考查了基本不等式求最值和函數的最值及其幾何意義等知識點，屬于中檔題．