Question

下面有5個命題：
①數列{a_n}是等差數列的充要條件是a_n=pn+q（p≠0）
②如果一個數列{a_n}的前n項和S_n=abⁿ+c（a≠0，b≠0，b≠1），則此數列是等比數列的充要條件是a+c=0
③若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則q是r的逆否命題；
④函數f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數，其定義域為[a-1，2a]，則上是減函數；
⑤向量平移后為（2，2）
其中真命題的編號是________（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

②③④
分析：根據等差數列{a_n}公差為0的情況，得到反例說明①的充分性不成立而錯誤；根據等比數列的通項與性質，結合已知S_n求的a_n方法，通過正反論證可得②正確；根據四種命題的定義及其相互關系，得到③正確；根據函數奇偶性的定義和二次函數單調性的結論，得到④正確；根據向量的定義和平移的規律，得到⑤錯誤．由此不難得到正確選項．
解答：對于①，若數列{a_n}是等差數列，若它的公差d=0
則它的通項是a_n=a₁（常數），此時a_n=pn+q（p≠0）不能成立，
說明充分性不成立，不是充要條件，故①錯誤；
對于②，數列{a_n}的前n項和S_n=abⁿ+c
可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1）
當n=1時，a₁=S₁=ab+c
接下來討論充分性與必要性
若a+c=0，則ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得數列的通項為a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1
∴數列{a_n}構成以a（b-1）為首項，公比為b的等比數列．故充分性成立；
反之，若此數列是等比數列，得
∵當n≥2時，a_n=ab^n-1（b-1），公比為b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc?b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，說明②正確；
對于③，設命題p：“若A，則B”
則命題p的逆命題q：“若B，則A”，且命題p的否命題r：“若非A，則非B”，
可見q是r的逆否命題，故③正確；
對于④，
∵函數f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數，其定義域為[a-1，2a]，
∴f（-x）=ax²-bx+3a+b=f（x）且a-1+2a=0
∴b=0且a=，得函數表達式為f（x）=x²+1
在區間（-∞，0）上是減函數，所以f（x）在上是減函數
故④正確；
對于⑤，因為向量平移后，終點和起點都發生了同樣的平移，
故向量的大小與方向均沒有變化，故向量按向量
平移后坐標仍為（3，4），故⑤錯誤．
故答案為②③④
點評：本題借助于充要條件的判斷和命題的真假判斷與應用，考查了函數奇偶性與單調性、等差數列和等比數列的通項與性質和向量平移等知識點，屬于中檔題．