Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）設平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD、V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如圖，設FD的中點為N，連結AN，MN，證明MNAO為平行四邊形，可得OM∥AN．再利用直線和平面平行的判定定理證得 OM∥平面DAF．
（Ⅱ）如圖，過點F作FG⊥AB于G，可得FG⊥平面ABCD．先求得 V_F-ABCD 的值，再用等體積法求得V_F-CBE=V_C-BEF=

1

3

S_△BEF•CB的值，可得 V_F-ABCD：V_F-CBE 的值．

解答：解：（Ⅰ）如圖，設FD的中點為N，連結AN，MN．
∵M為FC的中點，∴MN∥CD，MN=

1

2

CD．
又AO∥CD，AO=

1

2

CD，∴MN∥AO，MN=AO，
∴MNAO為平行四邊形，∴OM∥AN．
又OM?平面DAF，AN?平面DAF，∴OM∥平面DAF．…（6分）
（Ⅱ）如圖，過點F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD．
∴V_F-ABCD=

1

3

 S_ABCD•FG=

2

3

FG．
∵CB⊥平面ABEF，∴V_F-CBE=V_C-BEF=

1

3

 S_△BEF•CB=

1

3

•

1

2

EF•FG•CB=

1

6

FG．
∴V_F-ABCD：V_F-CBE=

2

3

•FG：

1

6

•FG=4．…（13分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，用等體積法求棱椎的體積，屬于中檔題．