Question

振華中學有一個研究性學習小組共有10名同學，其中男同學x名，現要選出3人去參加某項調查活動，若至少有一名女生去參加的概率為f（x）．
（1）求f（5）；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生的所有事件是從10個人中選3人去參加某項調查活動，至少有一名女生去參加的對立事件是沒有女生去參加，沒有女生去參加，根據古典概型和對立事件的概率公式得到結果．
（2）列出關于f（x）的解析式，展開組合數整理成關于變量的一元三次函數形式，根據自變量的取值范圍，對于一元三次函數求解，借助于導數求最值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
∵試驗發生的所有事件是從10個人中選3人去參加某項調查活動共有C₁₀³種結果，
至少有一名女生去參加的對立事件是沒有女生去參加，沒有女生去參加共有C₁₀³-C₅³種結果，
∴根據古典概型和對立事件的概率公式得到
f（5）=

C 3 10 - C 3 5

C 3 10

=

11

12

，
（2）f（x）=

C 3 10 - C 3 x

C 3 10

=1-

1

720

(x3-3x2+2x)3≤x≤10，x∈N，
則f′（x）=-

1

720

(3x2-6x+2)=-

1

720

[3(x-1)2-1]，
x∈[3，10]3（x-1）²-1＞0恒成立，∴f′（x）在x∈[3，10]上恒小于0，
∴f（x）在[3，10]上為減函數．
∴f（3）最大，
∴f（x）的最大值是

C 3 10 - C 3 3

C 3 10

=1．

點評：本題考查等可能事件的概率和導數，是一個綜合題，可以作為高考題，對立事件包含于互斥事件，是對立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是對立事件，認識兩個事件的關系，是解題的關鍵．