Question

已知定義在R上的偶函數f（x）滿足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在區間[0，1]上單調遞增，那么，下列關于此函數f（x）性質的表述：
①函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱； 
②函數y=f（x）是周期函數；
③當x∈[-3，-2]時，f′（x）≥0； ④函數y=f（x）的圖象上橫坐標為偶數的點都是函數的極小值點．  
其中正確表述的番號是

①②④

．

Answer 1

分析：先利用賦值法證明f（1）=0，從而利用函數周期性的定義證明函數的周期性，再利用已知函數性質證明函數的對稱性，最后利用函數的周期性和單調性判斷函數的單調性和極值即可

解答：解：令x=-1，則f（-1+2）=f（-1）+f（1），又f（-1）=f（1）
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0
∴f（x+2）=f（x）
∴函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為2，②正確；
再將上式中的x替換為x-1，得f（x+1）=f（x-1）=f（1-x）
∴函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，①正確；
∵函數f（x）在區間[0，1]上單調遞增，∴函數f（x）在區間[-1，0]上單調遞減，
又函數的周期為2，∴函數f（x）在區間[-3，-2]上單調遞減，此時f′（x）≤0，③錯誤；
∵函數f（x）在一個周期[-1，1]上有且只有一個零點x=0，且函數周期為2，∴x=0+2k，k∈Z均為函數的零點，④正確
故答案為①②④

點評：本題主要考查了函數性質的抽象表達，利用抽象表達式證明函數的周期性、對稱性，利用函數的周期性證明函數的整體性質等知識和技能