Question

如圖所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E,交直線AB于F.現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小為60°.過(guò)P作PH⊥EF于H.

(1)求證:PH⊥平面ABC;

(2)若a+b=2,求四面體PABC體積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析 (2)

【解析】

(1)證明:∵DF⊥AC,

∴折起后AC⊥PE,AC⊥EF,

∴AC⊥平面PEF,

又PH?平面PEF,

∴AC⊥PH,

又PH⊥EF,EF∩AC=E,

∴PH⊥平面ABC.

(2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC,

∴∠PEF就是二面角PACB的平面角,

∴∠PEF=60°,

∴Rt△PHE中,PH=PE,

折起前,Rt△ADC中,

DE==,

S△ABC=ab,

折起后,PE=DE,

∴PH=PE=·,

∴=PH·S△ABC

=···ab

=·,

∵a+b=2,a>0,b>0,

∴≤=≤=,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立,

因此()max=.