Question

如圖，在四邊形ABCD中，BC＝m，DC＝2 m，四個內角A、B、C、D之比為3∶7∶4∶10，試求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：由題意知，設四個內角A、B、C、D的大小依次為3x、7x、4x、10x， 　　則3x＋7x＋4x＋10x＝360°， 　　∴x＝15°，即A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°， 　　在△BCD中，由余弦定理，得 　　BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC·cosC 　　＝m2＋(2m)2－2×m×2 m×cos60°＝3 m2， 　　∴BD＝m， 　　∴S△BCD＝DC·BC·sinC＝×m×2m×＝m2， 　　在△BCD中，BD2＋BC2＝DC2， 　　∴∠DBC＝90°，∴∠BDC＝30°． 　　在△BAD中，由正弦定理，得 　　AB＝＝ 　　＝m． 　　又∠ABD＝105°－90°＝15°， 　　∴S△ABD＝AB·BD·sin15° 　　＝×m×m× 　　＝m2， 　　∴S四邊形ABCD＝S△BCD＋S△ABD 　　＝m2＋m2 　　＝m2． 　　思路解析：四邊形的基本構成元素是三角形，因而可把該問題轉化為求三角形面積，首先可根據四個內角的度數之比求出四個內角，結合余弦定理求得邊長，利用三角形面積公式S＝absinC求解．