Question

【題目】設常數a∈R，函數f（x）=（a﹣x）|x|．
（1）若a=1，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）是奇函數，且關于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]對所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時， ；

當x≥0時， ，∴f（x）在 內是增函數，在 內是減函數；

當x＜0時， ，∴f（x）在（﹣∞，0）內是減函數；

綜上可知，f（x）的單調增區間為 ，單調減區間為（﹣∞，0）， ；

（2）解：∵f（x）是奇函數，∴f（﹣1）=﹣f（1）；

即（a+1）1=﹣（a﹣1）1；

解得a=0；

∴f（x）=﹣x|x|，f[f（x）]=x3|x|；

∴mx2+m＞f[f（x）]=x3|x|，即 對所有的x∈[﹣2，2]恒成立；

∵x∈[﹣2，2]，∴x2+1∈[1，5]；

∴ ；

∴ ；

∴實數m的取值范圍為

【解析】（1）a=1時，便可得出 ，從而可根據二次函數的單調性，即可分別求出x≥0和x＜0時f（x）的單調區間，從而得出f（x）的單調區間；（2）可由f（x）為奇函數得到a=0，從而得到f（x）=﹣x|x|，進一步求得f[f（x）]=x3|x|，從而可由mx2+m＞f[f（x）]得到 對于任意x∈[﹣2，2]恒成立，可由x∈[﹣2，2]得出 ，這樣便可得出實數m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲挡拍艿贸稣�確答案．