Question

【題目】在直角坐標系xOy中，設圓的方程為（x+2 ）2+y2=48，F1是圓心，F2（2 ，0）是圓內一點，E為圓周上任一點，線EF2的垂直平分線EF1的連線交于P點，設動點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l（與x軸不重合）與曲線C交于A、B兩點，與x軸交于點M．
（i）是否存在定點M，使得 + 為定值，若存在，求出點M坐標及定值；若不存在，請說明理由；
（ii）在滿足（i）的條件下，連接并延長AO交曲線C于點Q，試求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓的方程為（x+2 ）2+y2=48的圓心F1為（﹣2 ，0），半徑為4 ．

依題意點P滿足 ，且4 ＞丨F1F2丨，

故點P的軌跡為以F1、F2為焦點，長軸為4 的橢圓

∴曲線C的方程： ．

（Ⅱ）（i）設M（t，0），設直線l的方程：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，整理得：（m2+3）y2+2mty+t2﹣12=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

= ， = ，

則 + = = ，

當2t2+24=72﹣6t2，即t2=6時， + =1，

此時M的坐標為（± ，0），

綜上，存在點M（± ，0），使得 + =1，

（ii）由（i）可知：t2=6，則丨AB丨= 丨y1﹣y2丨= ，

原點O直線AB的距離d= ，S△ABQ=4× × = ，

令 =μ∈[ ，+∞），則S△ABQ= = ≤ =4 ，

當且僅當t= ，即m=0取最大值，

∴△ABQ面積的最大值4

【解析】（Ⅰ）由足 ，且4 ＞丨F1F2丨，則點P的軌跡為以F1、F2為焦點，長軸為4 的橢圓，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）（i）設直線l的方程，代入橢圓方程，由 + = ，利用韋達定理可知2t2+24=72﹣6t2，即可求得t的值， + =1；（ii）利用弦長公式，求得丨AB丨，利用點到直線距離公式，換元，即可求得△ABQ面積的最大值．