Question

若F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的共同的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且△PF₁F₂為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)兩曲線的焦點(diǎn)相同，得雙曲線中參數(shù)a、b間的一個(gè)等式，再利用橢圓的定義，在橢圓中計(jì)算兩個(gè)焦半徑PF₁、PF₂，再利用雙曲線的定義，即可得雙曲線的a值，從而確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求其漸近線方程．

解答：解：∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4，0），
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中c=4，a²-b²=16  ①
設(shè)P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，
則在橢圓中，△PF₁F₂為等腰三角形，
∴PF₁=F₁F₂=8，∴PF₂=10-8=2
在雙曲線中，2a=PF₁-PF₂=6，∴a=3  ②
由①②得，雙曲線中a=3，b=

7

，
∴該雙曲線的漸近線方程是y=±

7

3

x．
故答案為：y=±

7

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓和雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)脑趦汕�線中研究點(diǎn)P的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．