Question

在直角坐標坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段為垂足．

(1)求線段中點M的軌跡C的方程；

(2)過點Q(一2，0)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點(，0)，且以言為方向向量的直線上一動點，滿足 (O為坐標原點)，問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在，求出直線Z的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設M(x,y)是所求曲線上的任意一點，P（）是方程的圓上的任意一點，則.

         則有：，即，代入得，

         軌跡C 的方程為.

 （2）當直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點.

         所以設直線l的方程為y=k(x+2),與橢圓交于兩點，N點所在直線方程為.

         由得（4＋）.

         由∴.

         即

        

，即,∴四邊形OANB為平行四邊形

假設存在矩形OANB,則,即，

即，

于是有     得.

設N（），由得，

即點N在直線x＝－上. ∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，

直線l的方程為.