Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=2an-2n．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）證明：{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；
（3）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用Sn=2an-2n，n分別取1，2，3，代入計算可求a₁，a₂，a₃；
（2）利用Sn=2an-2n，再寫一式，化簡即可證明{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；
（3）由an=2an-1+2n-1，可得n≥2時，

an

2n-1

=

an-1

2n-2

+1，利用累加法，即可求{a_n}的通項公式．

解答：（1）解：∵Sn=2an-2n，∴S1=2a1-21，∴a₁=2．…（1分）
a2=S1+22=2+2²=6…（2分）
a3=S2+23=8+2³=16…（3分）
（2）證明：∵Sn=2an-2n，
∴當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-2n-1…（4分）
∴兩式相減可得an-2an-1=2n-1…（6分）
∴

an+1-2an

an-2an-1

=2，…（7分）
∴{a_n+1-2a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．…（8分）
（3）解：由（2）得an=2an-1+2n-1，
∴n≥2時，

an

2n-1

=

an-1

2n-2

+1…（10分）
由累加法可得

an

2n-1

=

a1

20

+n-1
∴a_n=（n+1）•2^n-1．…（12分）
當(dāng)n=1時，a₁=2也滿足上式，…（13分）
∴a_n=（n+1）•2^n-1…（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．