Question

若直線y=x+b與曲線y=3-

4x-x2

有公共點，則b的取值范圍是

[1-2

2

，3]

．

Answer 1

分析：曲線即 （x-2）²+（y-3）²=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得 b=1+2

2

b=1-2

2

．結合圖象可得b的范圍．

解答：解：如圖所示：曲線y=3-

4x-x2

，即 （x-2）²+（y-3）²=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓．
由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得

|2-3+b|

2

=2，∴b=1+2

2

，或b=1-2

2

．
結合圖象可得2

2

≤b≤3，故答案為：[1-2

2

，3]．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．