【題目】已知
為橢圓
的左、右頂點，
為其右焦點，
是橢圓上異于
的動點，且
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
與橢圓在點
處的切線交于點
，當點在橢圓上運動時，求證:以 
為直徑的圓與直線
恒相切.
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
試題分析: （1）由題意知知
，由此能求出橢圓
的方程；
（2）設直線
的方程為
，
得
.，由此利用韋達定理、點到直線距離公式、直線與圓相切等知識點結合已知條件能證明當點
在橢圓上運動時，以 
為直徑的圓與直線
恒相切．
試題解析：(1)設橢圓
的方程為
,
由題意知解之得
,
故橢圓的方程為.
(2)證明：設直線的方程為.
則點
坐標為
中點
的坐標為
.
由得.
設點的坐標為
，則
.
.
點
坐標為
,
當
時，點的坐標為
,直線
軸，點
的坐標為
.
此時以為直徑的圓
與直線相切.
當
時，則直線的斜率
.
直線的方程為
.
點E到直線的距離
.
又因為
.
故以為直徑的圓與直線相切.
綜上得，當點在橢圓上運動時，以為直徑的圓與直徑恒相切.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人各擲一個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數，記事件A：甲得到的點數為2，B：乙得到的點數為奇數.
（1）求
，
，
，判斷事件A與B是否相互獨立；
（2）求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接
年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了
名學生，將他們的比賽成績（滿分為分）分為
組：
，
，
，
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）記
表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于
分”，估計的概率；
（Ⅲ）在抽取的名學生中，規定：比賽成績不低于分為“優秀”，比賽成績低于分為“非優秀”．請將下面的
列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？
優秀 | 非優秀 | 合計 | |
男生 |
| ||
女生 |
| ||
合計 |
|
參考公式及數據：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（Ⅰ）求圖中
的值，并估計該班期中考試數學成績的眾數；
（Ⅱ）從成績不低于90分的學生和成績低于50分的學生中隨機選取2人，求這2人成績均不低于90分的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
（I）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（II）為保證小艇在30分鐘內（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某縣共有90間農村淘寶服務站，隨機抽取5間，統計元旦期間的網購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數，葉為個位數.
（1）根據莖葉圖計算樣本均值；
（2）若網購金額(單位：萬元)不小于18的服務站定義為優秀服務站，其余為非優秀服務站.根據莖葉圖推斷90間服務站中有幾間優秀服務站？
（3）從隨機抽取的5間服務站中再任取2間作網購商品的調查，求恰有1間是優秀服務站的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]
以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程是
(t為參數)，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，求直線l被圓C截得的弦長．
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