Question

某國采用養老儲備金制度，公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a₁，以后第年交納的數目均比上一年增加d(d＞0)，因此，歷年所交納的儲備金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列，與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利，這就是說，如果固定年利率為r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為n(1＋r)ⁿ－1，第二年所交納的儲備金就變為a₂(1＋r)ⁿ－2，……，以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額．

(Ⅰ)寫出T_n與T_n－1(n≥2)的遞推關系式；

(Ⅱ)求證：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)我們有． 　　(Ⅱ)，對反復使用上述關系式，得 　　 　　，① 　　在①式兩端同乘，得 　　② 　　②①，得 　　． 　　即． 　　如果記，， 　　則． 　　其中是以為首項，以為公比的等比數列；是以為首項，為公差的等差數列．