Question

已知定義在區間[-1，1]上的函數f(x)=

2x+b

x2+1

為奇函數．．
（1）求實數b的值．
（2）判斷函數f（x）在區間（-1，1）上的單調性，并證明你的結論．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域為[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值．

Answer 1

分析：（1）依題意，由f（0）=0即可求得b的值；
（2）由（1）得b=0，從而求得f（x）的解析式，利用導數即可判斷其增減性；
（3）利用函數的單調性，再結合題意可求得m，n，從而可得到m+n的值．

解答：解：（1）∵定義在區間[-1，1]上的函數f（x）=

2x+b

x2+1

為奇函數，
∴f（0）=0，即b=0，…（2分）
檢驗：當b=0時，f（x）=

2x

x2+1

為奇函數，…（3分）
∴b=0．
（2）函數f（x）=

2x

x2+1

在區間（-1，1）上是增函數…（4分）
證明：∵f（x）=

2x

x2+1

，
∴f′（x）=

2(x2+1)-2x•2x

(x2+1)2

=

2(1-x2)

(x2+1)2

，…（6分）
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＞0，…（7分）
∴函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數 …（8分）
（3）由（2）知函數f（x）在區間[m，n]上是增函數，函數f（x）的值域為[f（m），f（n）]
∴

f(m)=m f(n)=n

即

2m m2+1 =m① 2n n2+1 =n②

…（9分）
由①得m=-1 或 0或1，
由②得n=-1 或 0或1…（11分）
又∵-1≤m＜n≤1
∴m=-1，n=0；或m=-1，n=1；或m=0，n=1…（12）
∴m+n=-1；或m+n=0；或m+n=1…（13）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，判斷出f（x）在（-1，1）上是增函數是解決問題的關鍵，對m，n的取值情況的討論是難點，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．