Question

已知向量

m

=（sinA，cosA+1），

n

=(1，

3

)，

m

∥

n

，且A為銳角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設f(x)=4cosAsin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

，求f（x）的單調遞增區間及函數圖象的對稱軸．

Answer 1

分析：（I）利用向量平行的充要條件得到

3

sinA=cosA+1，利用和角公式化簡為sin(A-

π

6

)=

1

2

，求出A．
（II）利用三角函數的二倍角公式化簡函數f（x），令2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+

π

2

求出函數的遞增區間；

x

2

-

π

3

=kπ+

π

2

求出函數的對稱軸．

解答：解：（I）因為

m

∥

n

，
所以

3

sinA=cosA+1，
即sin(A-

π

6

)=

1

2

，
又因為A為銳角，
所以A=

π

3

．
（II）f(x)=4cosAsin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

=2sin

x

4

cos

x

4

-

3

(1-2sin2

x

4

)
=sin

x

2

-

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

-

π

3

)
令2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+

π

2

解得4kπ-

π

3

≤x≤4kπ+

5π

3

令

x

2

-

π

3

=kπ+

π

2

解得x=2kπ+

5π

3

，
所以f（x）的單調遞增區間為[4kπ-

π

3

，4kπ+

5π

3

]；函數圖象的對稱軸x=2kπ+

5π

3

．

點評：解決三角函數的性質問題，應該先將三角函數化簡為只含一個角一個函數，然后利用整體角處理的方法來解決．