Question

設

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)是空間兩個單位向量，且k

a

+

b

與2

a

-

b

互相垂直，求實數k的值．

Answer 1

分析：因為

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)是空間兩個單位向量，所以可求出x，y的值，再計算k

a

+

b

與2

a

-

b

的坐標，根據k

a

+

b

與2

a

-

b

互相垂直，得到它們的數量積為0，再通過計算k

a

+

b

與2

a

-

b

的數量積，即可求出k值．

解答：解：∵

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)是空間兩個單位向量
∴

x2+12+02

=1，

(- 2 2 ) 2+y2+( 1 2 )2

=1
∴x=0，y=±

1

2

∵

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)
∴k

a

+

b

=k(x，1，0)+(-

2

2

，y，

1

2

)=（kx-

2

2

，k+y，

1

2

）
2

a

-

b

=2(x，1，0)-(-

2

2

，y，

1

2

)=（2x+

2

2

，2-y，-

1

2

）
∵k

a

+

b

與2

a

-

b

互相垂直，∴(k

a

+

b

)•(2

a

-

b

)=0
即，（kx-

2

2

）（2x+

2

2

）+（k+y）（2-y）+

1

2

×（-

1

2

）=0
把x=0，y=±

1

2

代入，得，k=0或

4

5

點評：本題考查了空間向量垂直的充要條件，做題時應認真思考．