Question

函數(shù)y=sin³x+cos³x在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值是（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  2

  2

• D、0

Answer 1

分析：把已知條件化簡(jiǎn)可得，f（x）=（cosx+sinx）（1-cosxsinx），利用同角平方關(guān)系，采用換元法可得y=

-t3+3t

2

，t∈[-1，1]，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值．

解答：解：y=sin³x+cos³x=（cosx+sinx）•（sin²x+cos²x-sinxcosx）
=（cosx+sinx）（1-cosxsinx）
令t=cosx+sinx，則t∈[0，1]
∴t²=1+2sinxcosx
∴y=t•(1-

t2-1

2

)=

-t3+3t

2

，t∈[-1，1]
y′=-

3

2

(t-1)(t+1)＞0?-1＜t＜1
函數(shù)在[-1，1]單調(diào)遞增，從而可得當(dāng)t=1時(shí)函數(shù)有最大值1
故選 B

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的同角平方關(guān)系，換元法求函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是令t=sinx+cosx，且t∈[-1，1]，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在[-1，1]的最值．