Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理證明平面APD內的直線AF∥BE，即可證明BE∥平面APD．
（2）先證明證明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，證明平面PBC⊥平面PBD．

解答：解：（I）取PD的中點F，連結EF，AF，
∵E為PC中點，
∴EF是三角形PDC的中位線，
∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（II）AB=AD=PD=1，CD=2，
則BC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D
∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．