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由方程2x|x|-y=1所確定的x,y的函數關系記為y=f(x).給出如下結論:
①f(x)是R上的單調遞增函數;
②對于任意x∈R,f(x)+f(-x)=-2恒成立;
③存在x0∈(-1,0),使得過點A(1,f(1)),B(x0,f(x0))的直線與曲線f(x)恰有兩個公共點.
其中正確的結論為________(寫出所有正確結論的序號).

①②③
分析:由方程2x|x|-y=1所確定的x,y的函數關系記為y=f(x),f(x)=2x|x|-1=,分別畫出當x≥0和x<0的函數圖象,它們分別是拋物線的一部分.如圖所示.結合觀察圖象可得答案.
解答:解:由方程2x|x|-y=1所確定的x,y的函數關系記為y=f(x),
則f(x)=2x|x|-1=
分別畫出當x≥0和x<0的函數圖象,它們分別是拋物線的一部分.如圖所示.
觀察圖象可知:
①f(x)是R上的單調遞增函數; 正確;
②圖象關于點Q(0,-1)對稱,故對于任意x∈R,f(x)+f(-x)=-2恒成立;正確;
③當點B是過點A(1,f(1)),B(x0,f(x0))的直線與曲線相切時的切點時,過點A(1,f(1)),B(x0,f(x0))的直線與曲線f(x)恰有兩個公共點,故存在x0∈(-1,0),使得過點A(1,f(1)),B(x0,f(x0))的直線與曲線f(x)恰有兩個公共點;正確.
故其中正確的結論為 ①②③.
故答案為:①②③.
點評:本小題主要考查分段函數、函數單調性的應用、函數對稱性的應用、帶絕對值的函數等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

研究問題:“已知關于x的方程ax2-bx+c=0的解集為{1,2},解關于x的方程cx2-bx+a=0”,有如下解法:
解:由ax2-bx+c=0⇒a-b(
1
x
)+c(
1
x
)2=0
,令y=
1
x
,則y∈{
1
2
, 1}

所以方程cx2-bx+a=0的解集為{
1
2
, 1}

參考上述解法,已知關于x的方程4x+3•2x+x-91=0的解為x=3,則
關于x的方程log2(-x)-
1
x2
+
3
x
+91=0
的解為
x=-
1
8
x=-
1
8

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•寧德模擬)由方程2x|x|-y=1所確定的x,y的函數關系記為y=f(x).給出如下結論:
①f(x)是R上的單調遞增函數; 
②對于任意x∈R,f(x)+f(-x)=-2恒成立;
③存在x0∈(-1,0),使得過點A(1,f(1)),B(x0,f(x0))的直線與曲線f(x)恰有兩個公共點.
其中正確的結論為
①②③
①②③
(寫出所有正確結論的序號).

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數y=f(x)由(2xy=2x?2y確定,則方程f(x)=
x2
3
的實數解有(  )
A、0個B、1個C、2個D、3個

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科目:高中數學 來源:2011年福建省寧德市高三質量檢查數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

由方程2x|x|-y=1所確定的x,y的函數關系記為y=f(x).給出如下結論:
①f(x)是R上的單調遞增函數; 
②對于任意x∈R,f(x)+f(-x)=-2恒成立;
③存在x∈(-1,0),使得過點A(1,f(1)),B(x,f(x))的直線與曲線f(x)恰有兩個公共點.
其中正確的結論為    (寫出所有正確結論的序號).

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