Question

【題目】某縣為了幫助農戶脫貧致富，鼓勵農戶利用荒地山坡種植果樹，某農戶考察了三種不同的果樹苗、、．經過引種實驗發現，引種樹苗的自然成活率為，引種樹苗、的自然成活率均為．

（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數為，求的分布列及其數學期望；

（2）將（1）中的數學期望取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率．該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活．

①求一棵種樹苗最終成活的概率；

②若每棵樹苗引種最終成活可獲利元，不成活的每棵虧損元，該農戶為了獲利期望不低于萬元，問至少要引種種樹苗多少棵？

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，；（2）①；②棵.

【解析】

（1）根據題意得出隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得隨機變量的數學期望；

（2）①由（1）知當時，最大，然后分一棵種樹苗自然成活和非自然成活兩種情況，可求得所求事件的概率；

②記為棵樹苗的成活棵數，由題意可知，利用二項分布的期望公式得出，根據題意得出關于的不等式，解出的取值范圍即可得解.

（1）依題意，的所有可能值為、、、，

則，

，

，

.

所以，隨機變量的分布列為：

；

（2）由（1）知當時，取得最大值．

①一棵種樹苗最終成活的概率為：，

②記為棵樹苗的成活棵數，則，，

，．

所以該農戶至少要種植棵樹苗，才可獲利不低于萬元．