Question

已知函數f（x）=kx³-3x²+1（k≥0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的極小值大于0，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分類討論，當k=0時是二次函數，單調區間很快求出，當k≠0時利用導數在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，可求得函數的單調區間．
（2）討論k，k=0顯然不存在極小值，當k＞0時，根據第一問的單調性可知f（x）的極小值，建立不等關系，求出變量k的范圍即可．
解答：解：（I）當k=0時，f（x）=-3x²+1
∴f（x）的單調增區間為（-∞，0]，單調減區間[0，+∞）．
當k＞0時，f'（x）=3kx²-6x=3kx（x-）
∴f（x）的單調增區間為（-∞，0]，[，+∞），單調減區間為[0，]．
（II）當k=0時，函數f（x）不存在最小值．
當k＞0時，依題意f（）=-+1＞0，
即k²＞4，由條件k＞0，所以k的取值范圍為（2，+∞）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題．