Question

如圖ABCD正方形，邊長為1，EC⊥平面ABCD，EC∥AF，且λEC=AF（λ＞1），
（1）證明：BD⊥EF
（2）若EC=1，求二面角B-EF-C平面角的取值范圍；
（3）設G是△BDF的重心，試問，是否有可能EG⊥平面BDF，若能求出EC的最小值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出兩條直線所在的向量，利用向量的數(shù)量積等于0可得兩條直線垂直．
（2）分別求出兩個平面的發(fā)行量，利用向量的有關運算求出向量的夾角的余弦值進而轉化為二面角的平面角的余弦值，再結合導數(shù)求出余弦值的范圍進而轉化為平面角的取值范圍，即可得到答案．
（3）應該先假設EG⊥平面BDF，則得到一個關于CE長度的表達式，然后利用函數(shù)球最值的方法求出CE的最小值．
解答：解：（1）方法一：如圖建立坐標系，B（1，0，0），D（0，1，0），
設E（1，1，h），那么F（0，0，λh），
所以，
所以BD⊥EF．
（2），，則面BEF得法向量，平面EFC的法向量是
所以
記，
所以
所以f（λ）在（1，2）是增函數(shù)，在（2，+∞）是減函數(shù)，
所以，，而
所以，
所以，
二面角B-EF-C平面角的取值范圍是
（3）B（1，0，0），D（0，1，0），E（1，1，h），F(xiàn)（0，0，λh），
所以，，，∴，
若EG⊥平面BDF，則
得，
所以當時，EG⊥平面BDF
此時，所以
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以便建立坐標系進而利用向量求出有關問題的表達式，再結合導數(shù)或者函數(shù)解析式的特征求其最值即可．