Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點，離心率等于

2 5

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C的一個頂點恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點，離心率等于

2 5

5

．易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（2）設(shè)A、B、M點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2），然后采用“聯(lián)立方程”+“設(shè)而不求”+“韋達定理”，結(jié)合已知中

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求出λ₁+λ₂值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則由題意知b=1．…（2分）∴

a2-b2 a2

=

2 5

5

．即

1- 1 a2

=

2 5

5

．∴a²=5．…（4分）
∴橢圓C的方程為 

x2

5

+y2=1．…（5分）
（2）設(shè)A、B、M點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．
又易知F點的坐標為（2，0）．…（6分）
顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）．…（7分）
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．…（8分）∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

．…（9分）
又∵

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，將各點坐標代入得λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

．（11分）∴λ1+λ2=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=…=-10．…（12分）

點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的關(guān)鍵．