Question

7．對于定義域分別為D_f、D_g的函數f（x）、g（x），規定：$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）•g（x）\;\;\;當x∈{D_f}且x∈{D_g}時\\ f（x）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;當x∈{D_f}且x∉{D_g}時\\ g（x）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;當x∉{D_f}且x∈{D_g}時\end{array}\right.$
（1）設$f（x）=\frac{1}{x}\;，\;\;g（x）=4{x^2}+1$，寫出h（x）的解析式．
（2）求（1）中函數h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由于函數f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=4x²+1，對x進行分類討論：當x≠0時，h（x）=f（x）g（x）；當x=0時，h（x）=4x²+1．從而得出h（x）的解析式；
（2）對于x的取值進行分類：若x＞0；若x＜0；x=0分別求得它們的最值，最后綜合即得函數h（x）的值域．

解答 （1）由于函數f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=4x²+1，根據題意得：
當x≠0時，h（x）=f（x）g（x）=$\frac{4{x}^{2}+1}{x}$，
當x=0時，h（x）=4x²+1．從而得出h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{x}^{2}+1}{x}\\;\\;\\;（x≠0）}\\{4{x}^{2}+1\\;\\;\\;\\;（x=0）}\end{array}\right.$；
（2）當x≠0時，h（x）=4x+$\frac{1}{x}$
若x＞0⇒h（x）≥4其中等號當x=$\frac{1}{2}$時成立，…（8分）
若x＜0⇒h（x）≤-4其中等號當x=-$\frac{1}{2}$時成立，…（10分）
∴函數h（x）的值域為（-∞，-4]∪[4，+∞）∪{0}

點評 本小題主要考查函數的值域、函數解析式的求解及常用方法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．