Question

已知函數f（x）=x²－4，設曲線y＝f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1,0）（nN ^*），其中x₁為正實數.

（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；

（Ⅱ）若x₁=4，記a₄ =lg，證明數列｛a_n｝成等比數列，并求數列｛x_n｝的通項公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數列｛b_n｝的前n項和，證明T_n<3.

Answer 1

本題綜合考察數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數列成等比數列，故，

即，從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

∴

當n=1時，顯然

當n＞1時，

∴

綜上，