Question

如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求點A到平面FBD的距離．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（1）在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2×=3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF．
（2）∵平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD為x軸，CA為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），F（0，，），B（-1，，0），
∴，，
平面ABD的法向量，設平面FBD的法向量，
則，，
∴，解得，
設二面角F-BD-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜＞|=||=．
故二面角F-BD-A的余弦值為．
（3）設點A到平面FBD的距離為d，
∵，平面FBD的法向量，
∴==．
分析：（1）在△ACD中，由題設條件推導出CD⊥CA，由ABCD是平行四邊形，知CA⊥AB，由直線垂直于平面的性質得到AC⊥BF．
（2）以CD為x軸，CA為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，由題設條件分別求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法能夠求出二面角F-BD-A的余弦值．
（3）求出向量和平面FBD的法向量，用向量法能夠求出點A到平面FBD的距離．
點評：本題考查異面直線垂直的證明、二面角的余弦值的求法、點到平面的距離．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．