Question

（2012•西山區模擬）與橢圓

x2

4

+y2=1有相同的焦點且過點P（2，1）的雙曲線方程是

x2

2

-y2=1

．

Answer 1

分析：根據橢圓

x2

4

+y2=1方程，得到a²=4且b²=1，所以c²=a²-b²=3，再設所求雙曲線方程為

x2

m

- 

y2

n

=1，（m＞0，n＞0）．然后結合題意：雙曲線與橢圓

x2

4

+y2=1有相同的焦點且過點P（2，1），列出方程組并解之可得m=2，n=1，從而得到所求雙曲線的方程．

解答：解：∵橢圓

x2

4

+y2=1中，a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3
設雙曲線方程為

x2

m

- 

y2

n

=1，（m＞0，n＞0）
∵雙曲線與橢圓

x2

4

+y2=1有相同的焦點且過點P（2，1），
∴m+n=3且

22

m

-

12

n

=1，解之可得m=2，n=1
∴雙曲線方程是

x2

2

-y2=1．
故答案為：

x2

2

-y2=1

點評：本題給出與已知橢圓共焦點的雙曲線且經過一個已知定點，求雙曲線的標準方程，著重考查了橢圓的基本概念和雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題．