Question

已知函數f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

2

（1）求函數的最小正周期及單調減區間
（2）在給定的坐標內，用五點法先列表，再作出函數f（x）在一個周期內的圖象．

Answer 1

分析：（1）先根據兩角和與差的正弦公式進行展開后合并，進而再由輔助角公式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據T=

2π

ω

可確定最小正周期．
（2）利用五點作圖法，列表后可作出函數的圖象

解答：解：（1）∵f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

2

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

=sinxcosx+

3

cos^₂x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin（2x+

π

3

）
∴函數的最小正周期T=π．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z．
所以函數的單調減區間為：[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．
（2）列表如下：

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦定理和輔角公式的應用和正弦函數的五點作圖法的應用，考查基礎知識的綜合應用．