Question

判斷下列函數的單調性，并說明理由．

(1)y＝；

(2)y＝x²－2|x|－1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1， 　　故函數y＝的定義域是[－3，1]． 　　∵3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4， 　　∴由二次函數的性質可知，此函數在[－3，－1]上是增函數，在[－1，1]是減函數; 　　(2)由題意，y＝x2－2|x|－1＝x2－2x－1＝ 　　它的圖象如圖所示，可知此函數在區間(－∞，－1和[0，1]上是減函數，在區間[－1，0]和－∞，－1)上是增函數． 　　說明：利用基本函數的單調性及函數的圖象是判定函數單調性的常用方法．對于(1)，是一個復合函數求單調性的問題，y＝可以看作是由y＝和u＝3－2x－x2兩個函數復合而成的函數，由基本函數的性質可以得到復合函數的性質． 　　若u＝g(x)在[a，b]上是單調增(減)函數，y＝f(u)在區間[g(a)，g(b)]或[g(b)，g(a)]上是單調增(減)函數，那么復合函數y＝y＝f[a，b]在[a，b]上一定是單調函數，并且有以下結論． 　　這一規律類似于我們熟悉的正負數的乘法符號法則，事實上，如果把“增”看成“正”，把“減”看成“負”，則“正正為正”，“負負為正”，分別與“增增為增”，“減減為減”相類似；“正負為負”，“負正為負”分別與“增減為減”，“減增為減”相類似，這樣一來，就容易記住了． 　　判斷函數的單調性應在定義域的范圍內，本題易忽視定義域，這將導致解題失誤，因為單調性是在定義域內定義的．

提示：

判斷函數的單調性，首先必須確定函數的定義域，而后在定義域內確定單調遞增、遞減區間．含絕對值的函數應先將原函數化為分段函數，在各自的分段區間內確定遞增、遞減區間．