Question

（2012•四川）設a，b為正實數，現有下列命題：
①若a²-b²=1，則a-b＜1；
②若

1

b

-

1

a

=1，則a-b＜1；
③若|

a

-

b

|=1，則|a-b|＜1；
④若|a³-b³|=1，則|a-b|＜1．
其中的真命題有

①④

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1；②③可通過舉反例的方法證明其錯誤性；④若a＞b，去掉絕對值，將a³-b³=1分解變形為（a-1）（a²+1+a）=b³，即可證明a-b＜1，同理當a＜b時也可證明b-a＜1，從而命題④正確

解答：解：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②若

1

b

-

1

a

=1，可取a=7，b=

7

8

，則a-b＞1，∴②錯誤；
③若|

a

-

b

|=1，則可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③錯誤；
④由|a³-b³|=1，
若a＞b，則a³-b³=1，即a³-1=b³，即（a-1）（a²+1+a）=b³，∵a²+1+a＞b²，∴a-1＜b，即a-b＜1
若a＜b，則b³-a³=1，即b³-1=a³，即（b-1）（b²+1+b）=a³，∵b²+1+b＞a²，∴b-1＜a，即b-a＜1
∴|a-b|＜1∴④正確；
故答案為①④

點評：本題主要考查了不等式的證明方法，間接證明和直接證明的方法，放縮法和舉反例法證明不等式，演繹推理能力，有一定難度，屬中檔題