Question

設(shè)數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記?
(I)求數(shù)列的通項公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有;
(III)設(shè)數(shù)列的前項和為?已知正實(shí)數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值?

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時，
又

數(shù)列成等比數(shù)列，其首項，公比是

 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
當(dāng)
當(dāng)

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)
則


>
對一切大于1的奇數(shù)n恒成立
只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。
另一方面，當(dāng)時，對一切的正整數(shù)n都有
事實(shí)上，對任意的正整數(shù)k，有


當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)
則<
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)
則
<
對一切的正整數(shù)n，都有
綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4

略