Question

投擲A，B，C三個紀念幣，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

將這三個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示出現正面向上的個數．
（1）求ξ的分布列及數學期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個獨立重復試驗，看出變量的所有可能取值，根據獨立重復試驗的概率公式寫出變量取不同值時的概率，寫出分布列和期望．
（2）由題意知本題要使的P（ξ=1）的值最大，題目最容易考慮到的一種方法是把P（ξ=1）的值同其他幾個變量的概率值進行比做差比較，使得差大于零，解不等式組，得到a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知ξ個正面向上，3-ξ個背面向上．
ξ的可能取值為0，1，2，3．
根據獨立重復試驗的概率公式得到變量的分布列，
，
，，
．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數學期望為．
（2），
，
．
由和0＜a＜1，
得，
即a的取值范圍是．
點評：本題是一個綜合題，解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．