Question

設函數，其中．證明：當時，函數沒有極值點；當時，函數有且只有一個極值點，并求出極值．

Answer 1

當時，函數沒有極值點；
當時，
若時，函數有且只有一個極小值點，極小值為．
若時，函數有且只有一個極大值點，極大值為．

試題分析：證明：因為，所以的定義域為．
．
當時，如果在上單調遞增；
如果在上單調遞減．
所以當，函數沒有極值點．
當時，

令，得（舍去），，
當時，隨的變化情況如下表：

		0
		極小值

從上表可看出，
函數有且只有一個極小值點，極小值為．
當時，隨的變化情況如下表：

		0
		極大值

從上表可看出，
函數有且只有一個極大值點，極大值為．
綜上所述，當時，函數沒有極值點；
當時，
若時，函數有且只有一個極小值點，極小值為．
若時，函數有且只有一個極大值點，極大值為．
點評：解決的關鍵是能對于含有參數的函數的導數的符號進行分類討論，得到結論，屬于中檔題。