Question

已知曲線y＝ax³－bx(a≠0)上有兩個不同的點A，B，且過A，B兩點的切線都垂直于直線AB．

(1)試判斷A，B兩點是否關于原點對稱，并說明理由；

(2)求出a，b所滿足的條件，并畫出點P(a，b)的存在范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)＝3ax2－b．設A(s，as3－bs)，B(t，at3－bt)為曲線上兩個不同的點，從而s≠t． 　　依題意過A，B兩點切線的斜率相等(或都不存在)，從而3as2－b＝3at2－b． 　　由于a≠0，故s2＝t2，于是s＝－t．由于函數y＝ax3－bx是奇函數，所以A、B兩點關于原點對稱． 　　(2)KAB＝＝a(t2＋ts＋s2)－b＝as2－b． 　　依題意(as2－b)·(3as2－b)＝－1， 　　即3a2(s2)2－4abs2＋1＋b2＝0． 　　令x＝s2，則方程3a2x2－4abx＋1＋b2＝0至少有一個正根． 　　因方程兩根之積為＞0，故方程兩根均為正根，從而兩根之和＞0，且Δ＝(4ab)2－12a2(1＋b2)≥0． 　　于是，a，b同號，且b2≥3，圖像如圖所示．