Question

【題目】設a為實數，函數f（x）=x3﹣x2﹣x+a，若函數f（x）過點A（1，0），求函數在區間[﹣1，3]上的最值．

Answer 1

【答案】解：∵函數f（x）過點A（1，0），
∴f（1）=1﹣1﹣1+a=0，
∴a=1，
∴f（x）=x3﹣x2﹣x+1，f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），
∴f（x）在[﹣1，﹣ ]上是增函數，在[﹣ ，1]上是減函數，
在[1，3]上是增函數；
而f（﹣1）=﹣1﹣1+1+1=0，
f（﹣ ）=﹣ ﹣ + +1=1+ = ，
f（1）=0，
f（3）=27﹣9﹣3+1=16，
故函數f（x）的最大值為16，最小值為0．
【解析】由題意可得f（1）=1﹣1﹣1+a=0，從而化簡f（x）=x3﹣x2﹣x+1，f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），從而判斷函數的單調性再求最值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．