Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C與底面ABC所成的角為

π

4

，AB=BC=

2

，∠ABC=

π

2

，設E、F分別AB、A₁C的中點
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁E
（Ⅱ）求證：EF∥平面BCC₁B₁
（Ⅲ）求以EC為棱，B₁EC與BEC為面的二面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，根據直線和平面垂直的判定定理證得BC⊥平面AB B₁A₁，從而證得BC⊥A₁E．
（Ⅱ）取B₁C之中點D，連FD，BD，證明四邊形EFBD為平行四邊形，可得EF

|| .

.

BD，再根據直線和平面平行的判定定理證得 EF||平面BCC₁B₁ ．
（Ⅲ）過B₁作B₁H⊥CE于H，連BH，可證∠B₁HB為二面角B₁-EC-B的平面角，由條件求得BH 和BB₁的值，再根據tan∠B₁HB=

B1B

BH

，計算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，而AB∩B₁B=B，AB?是平面ABB₁A₁，
B₁B?平面AB B₁A₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁．
又A₁E?平面AB B₁A₁，所以有BC⊥A₁E．
（Ⅱ）取B₁C之中點D，連FD，BD，∵F、D分別是AC、B₁C之中點，∴FD

|| .

.

1

2

A1B1

|| .

.

BE，
∴四邊形EFBD為平行四邊形，∴EF

|| .

.

BD，
又BD?平面BCC₁B₁，EF不在平面BCC₁B₁內，故有 EF||平面BCC₁B₁ ．
（Ⅲ）過B₁作B₁H⊥CE于H，連BH，又B₁B⊥平面ABC，B₁H⊥CE，∴BH⊥EC，
∴∠B₁HB為二面角B₁-EC-B的平面角．
在Rt△BCE中，有 BE=

1

2

AB=

2

2

，BC=2，CE=

BC2+BE2

=

10

2

，BH=

BE•BC

CE

=

10

5

．
又A₁C與底面ABC所成的角為

π

4

，∠A₁CA=

π

4

，∴BB₁=AA₁=AC=2，
所以，tan∠B₁HB=

B1B

BH

=

10

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、直線和平面平行的判定定理的應用，求二面角的平面角的大小，屬于中檔題．