Question

如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．
（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，建立坐標系，可得P的坐標并設(shè)出橢圓的方程，將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得，依題意，可得l=2a，計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，將（11，4.5）代入方程可得，結(jié)合基本不等式可得，分析可得當(dāng)ab≥99且l=2a，h=b時，，進而分析可得答案．
解答：解：（1）如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5），
橢圓方程為．
將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，
得，
此時此時
因此隧道的拱寬約為33.3米；

（2）由橢圓方程，
根據(jù)題意，將（11，4.5）代入方程可得．
因為
即ab≥99且l=2a，h=b，
所以
當(dāng)S取最小值時，
有，
得，
此時，h=b≈6.4
故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小．
點評：本題考查橢圓的實際運用，注意與實際問題相結(jié)合，建立合適的坐標系，設(shè)出點的坐標，結(jié)合橢圓的有關(guān)性質(zhì)進行分析、計算、解題．