Question

13．在一次聯考后，某校對甲、乙兩個理科班的數學考試成績進行分析，規定：大于或等于120分為優秀，120分以下為非優秀，統計成績后，得到如下的2×2列聯表，且已知在甲、乙兩個理科班全部110人中隨機抽取1人，成績為優秀的概率為$\frac{3}{11}$．

	優秀	非優秀	合計
甲班	10
乙班		30
合計			110

（1）請完成右面的列聯表，根據列聯表的數據，能否有99%的把握認為成績與班級有關系？（2）在甲、乙兩個理科班優秀的學生中隨機抽取兩名學生，用ξ表示抽得甲班的學生人數，求ξ的分布列．
參考公式和數據：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+c}）（{b+d}）（{a+b}）（{c+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）計算兩個班的優秀人數，填寫2×2列聯表，根據列聯表中的數據計算K²，對照臨界值表即可得出結論；
（3）由（1）知甲、乙兩個理科班優秀的人數，得出ξ的可能取值，且ξ服從超幾何分布，寫出頻率分布即可．

解答 解：（1）如表格所示，

	優秀	非優秀	合計
甲班	10	50	60
乙班	20	30	50
合計	30	80	110

由于從甲、乙兩個理科班全部110人中隨機抽取人為優秀的概率為$\frac{3}{11}$，
∴兩個班優秀的人數為110×$\frac{3}{11}$=30，
∴乙班優秀的人數=30-10=20，甲班非優秀的人數=110-（10+20+30）=50；
即可完成表格；
假設成績與班級無關，根據列聯表中的數據可得：
K²=$\frac{110{×（10×30-20×50）}^{2}}{60×50×30×80}$≈7.487．
∴K²＞6.635，因此有99%的把握知假設不成立，成績與班級有關；
（2）由（1）知：甲、乙兩個理科班優秀的人數分別為10，20；
ξ的可能取值為0，1，2，且ξ服從超幾何分布；
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{38}{87}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}{•C}_{20}^{1}}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{40}{87}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{9}{87}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{38}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{9}{87}$

點評 本題考查了列聯表、獨立性檢驗以及超幾何分布列的應用問題，是綜合性題目．