Question

函數(shù)y=ln（ae^x-x+2a²-3）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域是實(shí)數(shù)集R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，e]

B．（-∞，1]

C．[0，e]

D．[0，1]

Answer 1

分析：設(shè)g（x）=ae^x-x+2a²-3，則要求g（x）_min≤0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，最值情況，進(jìn)行作答．要注意對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論．

解答：解：設(shè)g（x）=ae^x-x+2a²-3，則g′（x）=ae^x-1．
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＜0在R上恒成立，g（x）在R上是減函數(shù)，
x→+∞時(shí)，g（x）→-∞，x→-∞時(shí)，g（x）→+∞，
此時(shí)g（x）值域?yàn)镽．符合要求．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=0得x=-lna．
由g′（x）＜0得x＜-lna，g（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減．
由g′（x）＞0得x＞-lna，g（x）在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（-lna）=2a²+lna-2．
下面研究g（x）最小值：
令h（a）=2a²+lna-2，則h′（a）=4a+

1

a

＞0（a＞0），h（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
可知當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）_min＞0，當(dāng)a=1時(shí)，g（x）_min=0，當(dāng)a＜1時(shí)，g（x）_min＜0，
而x→+∞時(shí)，g（x）→+∞．所以0＜a≤1．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0或0＜a≤1，即a∈（-∞，1]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與對(duì)數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，值域求解．考查分類(lèi)討論，運(yùn)算求解能力．題目難度大，邏輯思維性強(qiáng)．