Question

已知函數(shù)，

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）偶函數(shù)；（2）,；（3） 

【解析】

試題分析：(1)判斷奇偶性，需先分析函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后分析解析式與的關(guān)系可得；(2)根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，所以可以考慮先分析時的單調(diào)性，于是在時利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后再分析對稱區(qū)間上的單調(diào)性；（3）把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值，保證函數(shù)圖形與的交點(diǎn)的存在

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122009545110603882/SYS201312200956503584585141_DA.files/image009.png">且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱       1分

為偶函數(shù)                 4分

（2）當(dāng)時，                5分

令

令

                              6分

所以可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，           7分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122009545110603882/SYS201312200956503584585141_DA.files/image008.png">是偶函數(shù)，所以在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，所以可得：

當(dāng)時，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，           8分

綜上可得：的遞增區(qū)間是:,；

的遞減區(qū)間是: ,                           10分

（3）由，即,顯然,

可得：令，當(dāng)時, 

            12分

顯然，當(dāng)時，,單調(diào)遞減，

當(dāng)時，,單調(diào)遞增，

時,             14分 

又，所以可得為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

所以可得:當(dāng)時，            16分 

∴的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122009545110603882/SYS201312200956503584585141_DA.files/image003.png">  ∴的取值范圍是       16分

考點(diǎn)：奇偶性，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值