Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（λ+1）-λa_n，其中λ是不等于-1和0的常數．
（Ⅰ）證明a_n是等比數列；
（Ⅱ）設數列{a_n}的公比q=f（λ），數列{b_n}滿足，b_n=f（b_n-1）（n∈N，n≥2），求數列的前n項和為T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1=（λ+1）-λa_n -[（λ+1）-λa_n-1 ]，得到a_n和a_n-1的關系式．再由等比數列的定義為常數得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n和b_n-1之間的關系．即，兩邊取倒數，構造了這個等差數列．再根據公式求和．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=（λ+1）-λa_n∴S_n-1=（λ+1）-λa_n-1（n≥2）
∴a_n=-λa_n+λa_n-1即（1+λ）a_n=λa_n-1又λ≠-1且λ≠0
∴又a₁=1
∴a_n是以1為首項，為公比的等比數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：q=f（λ）=
∴故有∴
∴是以3為首項，1為公差的等差數列
∴
∴
點評：對于數列的題目，迭代的思想是最常用的方法，另外，已知遞推關系式，求通項公式也是常見的題型，比如，構造等差數列，構造等比數列等．