Question

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函數f（x）的單調遞減區間為（-，1），求函數f（x）的解析式；
（2）（理）若f（x）的導函數為f′（x），對任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求實數m的取值范圍．
（文）若f（x）的導函數為f′（x），對任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2（1-m）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，令f′（x）＜0，利用函數f（x）的單調遞減區間為（-，1），得到3x²+2mx-1=0的兩根分別是-，1，代入即可求出m，從而求出函數f（x）的解析式；
（2）（理）對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，等價于即m≥lnx-x在x∈（0，+∞）時恒成立，求出右邊對應函數的最大值，即可得到m的范圍．
（文）3x²+2mx-1≥2（1-m）在x∈（0，+∞）時恒成立，等價于m≥（1-x）在x∈（0，+∞）時恒成立，求出右邊對應函數的最大值，即可得到m的范圍．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2mx-1．
由題意f′（x）=3x²+2mx-1＜0的解集是（-，1），
即3x²+2mx-1=0的兩根分別是-，1．
將x=1或x=-代入方程3x²+2mx-1=0得m=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+2．
（2）（理）由題意知3x²+2mx-1≥2xlnx-1在x∈（0，+∞）時恒成立，即m≥lnx-x在x∈（0，+∞）時恒成立．
設h（x）=lnx-，則h′（x）=-．
令h′（x）=0，得x=．
令h′（x）＞0，則0＜x＜，；令h′（x）＜0，則x＞，
∴當x=時，h（x）取得最大值，h（x）_max=ln-1=ln2-ln3e，
所以m≥ln2-ln3e．
因此m的取值范圍是[ln2-ln3e，+∞）．
（文）由題意知3x²+2mx-1≥2（1-m）在x∈（0，+∞）時恒成立，即2mx+2m≥3-3x²，
所以2m（x+1）≥3（1-x²）．
由于x∈（0，+∞），于是2m≥3（1-x），得m≥（1-x）．
而（1-x）＜，所以m的取值范圍為[，+∞）．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及不等式恒成立時條件的理解能力，解題的關鍵是求出導函數，分離參數．