Question

設A₁、A₂與B分別是橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點與上頂點，直線A₂B與圓C：x²＋y²＝1相切．
(1)求證：＝1；
(2)P是橢圓E上異于A₁、A₂的一點，若直線PA₁、PA₂的斜率之積為－，求橢圓E的方程；
(3)直線l與橢圓E交于M、N兩點，且·＝0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）＝1.（3）直線l與圓C相切

(1)證明：已知橢圓E：＝1(a>b>0)，A₁、A₂與B分別為橢圓E的左、右頂點與上頂點，
所以A₁(－a，0)，A₂(a，0)，B(0，b)，直線A₂B的方程是＝1.
因為A₂B與圓C：x²＋y²＝1相切，所以＝1，即＝1.
(2)解：設P(x₀，y₀)，則直線PA₁、PA₂的斜率之積為kPA₁·kPA₂＝，＝1，而＝1，所以b²＝a².結合＝1，得a²＝4，b²＝.所以橢圓E的方程為＝1.
(3)解：設點M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
①若直線l的斜率存在，設直線l為y＝kx＋m，由y＝kx＋m代入＝1，得＋＝1.化簡得(b²＋a²k²)x²＋2a²kmx＋a²m²－a²b²＝0(Δ>0)．∴x₁x₂＝，y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝
.因為·＝0，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.代入得(a²＋b²)m²－a²b²(1＋k²)＝0.結合(1)的＝1，得m²＝1＋k².圓心到直線l的距離為d＝＝1，所以直線l與圓C相切．
②若直線l的斜率不存在，設直線l為x＝n.代入＝1，得y＝±b.∴|n|＝b·，∴a²n²＝b²(a²－n²)．解得n＝±1，所以直線l與圓C相切．