Question

數列{a_n}滿足：a_n+1=3a_n-3a_n²，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）若數列{a_n}為常數列，求a₁的值；
（Ⅱ）若，求證：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數列{a_2n}單調遞減．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知a_n+1=a_n，，由此可推導出a=0，或．
（Ⅱ）用數學歸納法證明．
（Ⅲ）因為a_2n-a_2n-2=3（3a_2n-2-3a_2n-2²）-3（3a_2n-2-3a_2n-2²）²-a_2n-2=-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2（n≥2），
所以只要證明-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2＜0，然后用分析法能夠證明數列{a_2n}單調遞減．
解答：解：（Ⅰ）因為數列{a_n}為常數列，
所以a_n+1=a_n，，
解得a_n=0或，
由n的任意性知，a₁=0或，
所以a=0，或；
（Ⅱ）用數學歸納法證明，
1當n=12時，3，符合上式，
②假設當n=k（k≥1）時，，
因為，
所以，
即，
從而，
即，
因為，
所以，當n=k+1時，成立，
由①，②知，；
（Ⅲ）因為a_2n-a_2n-2=3（3a_2n-2-3a_2n-2²）-3（3a_2n-2-3a_2n-2²）²-a_2n-2=-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2（n≥2），
所以只要證明-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2＜0，
由（Ⅱ）可知，a_2n-2＞0，所以只要證明-27a_2n-2³+54a_2n-2²-36a_2n-2+8＜0，
即只要證明27a_2n-2³-54a_2n-2²+36a_2n-2-8＞0，
令f（x）=27x³-54x²+36x-8，
f'（x）=27×3x²-54×2x+36=9（9x²-12x+4）=9（3x-2）²≥0，
所以函數f（x）在R上單調遞增，
因為，所以，
即27a_2n-2³-54a_2n-2²+36a_2n-2-8＞0成立，
故a_2n＜a_2n-2，
所以數列{a_2n}單調遞減．
點評：本題以數列為載體，考查不等式的證明，解題時要注意數列歸納法和分析法的證明技巧．